Équation différentielle du second ordre — étude complète

Exercice 4 — Équation différentielle du second ordre et étude de fonction

On considère l'équation différentielle :

(E) : $y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=0$

Partie A — Résolution de (E)

1. On pose $y(x)=e^{rx}$ où $r\in \mathbb{R}$. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si r vérifie l'équation caractéristique : $r^2-5r+6=0$.
2. Résoudre l'équation $r^2-5r+6=0$ et en déduire la solution générale de (E) sur $\mathbb{R}$.
3. Déterminer l'unique solution h de (E) vérifiant les conditions initiales $h(0)=1$ et $h^{\prime }(0)=3$.

Partie B — Étude de la solution h

4. Calculer $h^{\prime }(x)$ et montrer que $h^{\prime }(x)=0$ admet une unique solution $x_0$ que l'on exprimera à l'aide du logarithme naturel ln.
5. Dresser le tableau de variations complet de h sur $\mathbb{R}$.
6. Montrer que $h(x)>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.