Situation-problème : décroissance radioactive à Casablanca

Exercice 3 — Modélisation par équation différentielle

Un laboratoire à Casablanca étudie la désintégration d'un échantillon radioactif. On note $m(t)$ la masse (en grammes) de la substance radioactive présente à l'instant $t$ (en heures), avec $t\ge 0$.

Le physicien modélise l'évolution de $m$ par l'équation différentielle :

(E) : $m^{\prime }(t)=-0,2\cdot m(t)$

À l'instant initial ($t=0$), la masse est $m(0)=50$ g.

1. Résoudre l'équation (E) et déterminer la solution particulière vérifiant $m(0)=50$.
2. Calculer la masse présente après 5 heures. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près (on rappelle que $e^{-1}\approx 0,368$).
3. Déterminer au bout de combien de temps la masse sera inférieure à 1 g. On exprimera la réponse à l'aide du logarithme naturel $\ln$, puis on donnera une valeur approchée à l'unité près (on rappelle que $\ln (50)\approx 3,912$).
4. La masse $m(t)$ s'annule-t-elle pour une valeur finie de $t$ ? Justifier.