Exercice 6 — Famille de solutions et interprétation géométrique On considère l'équation différentielle : (E) : y ′ + 2 y = 4 x + 2 où y est une fonction dérivable sur R . Résoudre l'équation homogène associée (E₀) : y ′ + 2 y = 0 . On cherche une solution particulière de (E) sous la forme y ∗ = a x + b , où a et b sont des réels à déterminer. a) Calculer ( y ∗ ) ′ . b) Substituer dans (E) et identifier les coefficients pour déterminer a et b. c) En déduire la solution générale de (E). Soit ( C k ) la courbe représentative de la solution y k de (E) vérifiant y k ( 0 ) = k , pour k ∈ R . a) Exprimer y k ( x ) en fonction de k et x. b) Montrer que toutes les courbes ( C k ) passent par un même point A lorsque x → + ∞ dans un sens asymptotique, c'est-à-dire que toutes les solutions ont le même comportement asymptotique en + ∞ . c) Déterminer la valeur de k pour laquelle la courbe ( C k ) passe par le point B(0 ; 5). On note f la solution de (E) vérifiant f ( 0 ) = 1 . Montrer que f est strictement croissante sur [ 1 ; + ∞ [ .

Étude d'une famille de solutions et propriétés géométriques

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 6 — Famille de solutions et interprétation géométrique

On considère l'équation différentielle :

(E) : $y^{'} + 2 y = 4 x + 2$

où y est une fonction dérivable sur $R$ .

Résoudre l'équation homogène associée (E₀) : $y^{'} + 2 y = 0$ .
On cherche une solution particulière de (E) sous la forme $y^{*} = a x + b$ , où a et b sont des réels à déterminer.
a) Calculer $(y^{*})^{'}$ .
b) Substituer dans (E) et identifier les coefficients pour déterminer a et b.
c) En déduire la solution générale de (E).
Soit $(C_{k})$ la courbe représentative de la solution $y_{k}$ de (E) vérifiant $y_{k} (0) = k$ , pour $k \in R$ .
a) Exprimer $y_{k} (x)$ en fonction de k et x.
b) Montrer que toutes les courbes $(C_{k})$ passent par un même point A lorsque $x \to + \infty$ dans un sens asymptotique, c'est-à-dire que toutes les solutions ont le même comportement asymptotique en $+ \infty$ .
c) Déterminer la valeur de k pour laquelle la courbe $(C_{k})$ passe par le point B(0 ; 5).
On note f la solution de (E) vérifiant $f (0) = 1$ . Montrer que f est strictement croissante sur $[1; + \infty [$ .

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1 Indice 1

L'equation homogene $y'+2y=0$ a des solutions de la forme $y=C\\,e^{-2x}$.

2 Indice 2

Injecte $y^*=ax+b$ dans (E) et identifie les coefficients de $x$ et le terme constant.

3 Indice 3

Pour $y_k$, utilise la condition $y_k(0)=k$ pour fixer la constante, puis regarde le comportement de $e^{-2x}$ quand $x\\to+\\infty$.

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