Énoncé Soit F la primitive de f : x ↦ x 2 + 1 1 sur R vérifiant F ( 0 ) = 0 . Montrer que F est impaire. a) Montrer que ∀ x ∈ R + , F ( x ) ≥ ln ( x + 1 ) . b) En déduire x → + ∞ lim F ( x ) et x → − ∞ lim F ( x ) . Montrer que F est une bijection de R sur R . On pose G = F − 1 . Montrer que G est dérivable sur R et que G ′ ( x ) = 1 + G 2 ( x ) . Montrer que G est deux fois dérivable et est solution de y ′′ − y = 0 . Déterminer G ( x ) puis F ( x ) en fonction de x (on remarquera que G ( 0 ) = 0 et G ′ ( 0 ) = 1 ).

Réciproque de la primitive de 1/√(x²+1) et équation y''-y=0

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit $F$ la primitive de $f : x \mapsto \frac{1}{x ^{2} + 1}$ sur $R$ vérifiant $F (0) = 0$ .

Montrer que $F$ est impaire.
a) Montrer que $\forall x \in R^{+}, F (x) \geq ln (x + 1)$ . b) En déduire $x \to + \infty lim F (x)$ et $x \to - \infty lim F (x)$ .
Montrer que $F$ est une bijection de $R$ sur $R$ . On pose $G = F^{- 1}$ .
Montrer que $G$ est dérivable sur $R$ et que $G^{'} (x) = 1 + G^{2} (x)$ .
Montrer que $G$ est deux fois dérivable et est solution de $y^{''} - y = 0$ .
Déterminer $G (x)$ puis $F (x)$ en fonction de $x$ (on remarquera que $G (0) = 0$ et $G^{'} (0) = 1$ ).

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la parite, deriver $g(x)=F(x)+F(-x)$ et utiliser que $f$ est paire pour montrer que $g$ est constante.

2 Indice 2

Pour la minoration, etudier $\\varphi(x)=F(x)-\\ln(x+1)$ en comparant $\\sqrt{x^2+1}$ et $x+1$.

3 Indice 3

Pour la reciproque, deriver $G=F^{-1}$ pour obtenir $G'=\\sqrt{1+G^2}$, puis rederiver pour aboutir a $y''-y=0$.

Bloqué sur cet exercice ?

Léo peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points