Énoncé On considère l'équation différentielle ( E ) : y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 2 e 3 x et la fonction f définie sur R par f ( x ) = x 2 e 3 x . Résoudre l'équation homogène ( E 0 ) : y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0 . a) Vérifier que f est une solution de ( E ) . b) En déduire une primitive de f sur R . On pose y = z e 3 x . a) Montrer que y est solution de ( E ) si et seulement si z ′′ = 2 . b) Résoudre ( E ) .

Équation y''-6y'+9y=2e^{3x} et primitive associée

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On considère l'équation différentielle

$(E) : y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = 2 e^{3 x}$

et la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = x^{2} e^{3 x}$ .

Résoudre l'équation homogène $(E_{0}) : y^{''} - 6 y^{'} + 9 y = 0$ .
a) Vérifier que $f$ est une solution de $(E)$ . b) En déduire une primitive de $f$ sur $R$ .
On pose $y = z e^{3 x}$ . a) Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $z^{''} = 2$ . b) Résoudre $(E)$ .

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1 Indice 1

Ecris l'equation caracteristique $r^2-6r+9=0$ et regarde son discriminant.

2 Indice 2

Pour verifier que $f$ est solution, calcule $f'$ et $f''$ puis substitue dans le membre de gauche.

3 Indice 3

Avec $y=ze^{3x}$, exprime $y'$ et $y''$ pour faire apparaitre une equation simple en $z''$.

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