Énoncé On considère l'équation différentielle ( E ) : x 2 y ′′ + 3 x y ′ + y = 0 , x ∈ ] 0 , + ∞ [ et on pose z ( x ) = y ( e x ) pour x ∈ R . Montrer que z ′′ + 2 z ′ + z = 0 et en déduire l'expression de z . Résoudre l'équation différentielle ( E ) .

Équation d'Euler x²y''+3xy'+y=0 via z(x)=y(eˣ)

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On considère l'équation différentielle

$(E) : x^{2} y^{''} + 3 x y^{'} + y = 0, x \in] 0, + \infty [$

et on pose $z (x) = y (e^{x})$ pour $x \in R$ .

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1 Indice 1

Derive $z(x) = y(e^x)$ deux fois par derivation composee, en gardant les facteurs $e^x$.

2 Indice 2

Reporte $z'$ et $z''$ dans $z''+2z'+z$ : tu dois retrouver l'expression de $(E)$ en $t=e^x$.

3 Indice 3

L'equation caracteristique a une racine double ; reviens a $y$ via $x = \\ln t$.

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