Énoncé Soit l'équation différentielle ( E ) : x 2 y ′′ + 3 x y ′ + y = 0 pour x ∈ ] 0 , + ∞ [ . On pose z ( x ) = y ( e x ) pour x ∈ R . Montrer que z ′′ + 2 z ′ + z = 0 , puis en déduire l'expression de z . Résoudre l'équation différentielle ( E ) .

Équation d'Euler par changement de variable

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit l'équation différentielle $(E) : x^{2} y^{''} + 3 x y^{'} + y = 0$ pour $x \in] 0, + \infty [$ . On pose $z (x) = y (e^{x})$ pour $x \in R$ .

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1 Indice 1

Le changement de variable $x=e^{t}$ vise a transformer l'equation d'Euler en une equation a coefficients constants.

2 Indice 2

Derive $z(t)=y(e^{t})$ par la regle de la chaine et exprime $xy'$ et $x^2y''$ en fonction de $z'$ et $z''$.

3 Indice 3

Une fois $z''+2z'+z=0$ resolue, reviens a $y$ en remplacant $t$ par $\\ln x$.

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