Énoncé On considère les équations différentielles ( E ) : y ′′ − 4 y ′ = 12 e x − 12 et ( E 0 ) : y ′′ − 4 y ′ = 0 . On pose y 0 ( x ) = − 4 e x + 3 x . Montrer que y 0 est une solution de ( E ) . Montrer que y est solution de ( E ) si et seulement si y − y 0 est solution de ( E 0 ) , puis en déduire les solutions de ( E ) . Déterminer la solution f de ( E ) vérifiant f ( 0 ) = − 2 et f ′ ( 0 ) = 3 .

Équation avec second membre et solution particulière donnée

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On considère les équations différentielles $(E) : y^{''} - 4 y^{'} = 12 e^{x} - 12$ et $(E_{0}) : y^{''} - 4 y^{'} = 0$ .

On pose $y_{0} (x) = - 4 e^{x} + 3 x$ . Montrer que $y_{0}$ est une solution de $(E)$ .
Montrer que $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $y - y_{0}$ est solution de $(E_{0})$ , puis en déduire les solutions de $(E)$ .
Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant $f (0) = - 2$ et $f^{'} (0) = 3$ .

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