Énoncé On considère l'équation différentielle : ( E ) : x 2 y ′′ + 3 x y ′ + y = 0 , x ∈ ] 0 , + ∞ [ . Pour une solution y de ( E ) , on pose z ( t ) = y ( e t ) pour tout t ∈ R . Montrer que z vérifie z ′′ + 2 z ′ + z = 0 , et en déduire l'expression de z . Résoudre l'équation différentielle ( E ) .

Équation d'Euler x²y'' + 3xy' + y = 0 via le changement x = eᵗ

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On considère l'équation différentielle :

$(E) : x^{2} y^{''} + 3 x y^{'} + y = 0, x \in] 0, + \infty [.$

Pour une solution $y$ de $(E)$ , on pose $z (t) = y (e^{t})$ pour tout $t \in R$ .

Montrer que $z$ vérifie $z^{''} + 2 z^{'} + z = 0$ , et en déduire l'expression de $z$ .
Résoudre l'équation différentielle $(E)$ .

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1 Indice 1

Derive $z(t) = y(e^t)$ deux fois via la derivation composee, en conservant les $e^t$.

2 Indice 2

Substitue $z'$ et $z''$ dans $z''+2z'+z$ ; avec $x = e^t$ tu retrouves $(E)$.

3 Indice 3

La racine double de l'equation caracteristique donne $z$ ; reviens a $y$ en posant $t = \\ln x$.

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