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Équation fonctionnelle f'(x) = f(−x) ramenée à y'' + y = 0

Difficile Inspiré BAC France
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Exercice inspiré d'un BAC France
Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Énoncé

Soit une fonction dérivable sur telle que :

  1. Montrer que est deux fois dérivable sur et que .

  2. Résoudre l'équation différentielle , puis déterminer toutes les fonctions vérifiant la relation .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour montrer que $f$ est deux fois derivable, derive les deux membres de l'egalite $f'(x) = f(-x)$ par rapport a $x$, en pensant a la regle de derivation d'une composee.
2 Indice 2
Une fois l'equation differentielle obtenue, souviens-toi que l'equation caracteristique associee a $y'' + y = 0$ a des racines complexes, ce qui donne une solution generale avec cosinus et sinus.
3 Indice 3
Remplace la forme generale de $f$ dans la condition $f'(x) = f(-x)$ et identifie les coefficients devant $\\cos x$ et $\\sin x$ pour trouver une relation entre les deux constantes.

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Équation avec second membre : y'' − 4y' = 12eˣ − 12 et condition initiale Retour au chapitre Équation d'Euler x²y'' + 3xy' + y = 0 via le changement x = eᵗ