Étude complète d'une fonction et résolution d'équation

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=x-2+\ln (x)$.

1. Déterminer les limites de $f$ en $0^{+}$ et en $+\infty$.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$, étudier son signe et dresser les variations de $f$.

3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty [$, puis justifier que $1<\alpha <2$.

4. En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.

5. Résoudre dans $]0;+\infty [$ l'équation $(\ln (x){)}^2-\ln (x)-6=0$.