Étude complète d'une fonction avec ln

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)=x-2+\frac{\ln (x)}{x}$.

1. Déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

2. Montrer que pour tout $x>0$, $f^{\prime }(x)=\frac{x^2+1-\ln (x)}{x^2}$.

3. En posant $g(x)=x^2+1-\ln (x)$, étudier le signe de $g$ sur $]0;+\infty [$ et en déduire le sens de variation de $f$.

4. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$.