On considère la fonction f définie par f ( x ) = ln ( x x 2 + 1 ) . 1. Déterminer l'ensemble de définition D f de f . 2. Montrer que pour tout x ∈ D f , f ( x ) = ln ( x 2 + 1 ) − ln ( x ) , puis calculer f ′ ( x ) et montrer que f ′ ( x ) = x ( x 2 + 1 ) x 2 − 1 . 3. Étudier le signe de f ′ ( x ) sur D f et en déduire les variations de f . 4. Déterminer x → 0 + lim f ( x ) et x → + ∞ lim f ( x ) . 5. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de f au point d'abscisse 1 .

Dérivée en u'/u, limites et tangente

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

On considère la fonction $f$ définie par $f (x) = ln (\frac{x ^{2} + 1}{x})$ .

1. Déterminer l'ensemble de définition $D_{f}$ de $f$ .

2. Montrer que pour tout $x \in D_{f}$ , $f (x) = ln (x^{2} + 1) - ln (x)$ , puis calculer $f^{'} (x)$ et montrer que $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x ( x ^{2} + 1 )}$ .

3. Étudier le signe de $f^{'} (x)$ sur $D_{f}$ et en déduire les variations de $f$ .

4. Déterminer $x \to 0^{+} lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ .

5. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$ .

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