On considère la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par f ( x ) = ln ( x 2 + 3 x ) . 1. Justifier que f est bien définie sur ] 0 ; + ∞ [ , puis calculer f ′ ( x ) . 2. Étudier le signe de f ′ ( x ) sur ] 0 ; + ∞ [ et en déduire le sens de variation de f . 3. Déterminer x → 0 + lim f ( x ) et x → + ∞ lim f ( x ) . 4. Résoudre dans ] 0 ; + ∞ [ l'inéquation ln ( x 2 + 3 x ) ≤ ln ( 4 ) .

Dérivée, inéquation et limites avec ln

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = ln (x^{2} + 3 x)$ .

1. Justifier que $f$ est bien définie sur $] 0; + \infty [$ , puis calculer $f^{'} (x)$ .

2. Étudier le signe de $f^{'} (x)$ sur $] 0; + \infty [$ et en déduire le sens de variation de $f$ .

3. Déterminer $x \to 0^{+} lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ .

4. Résoudre dans $] 0; + \infty [$ l'inéquation $ln (x^{2} + 3 x) \leq ln (4)$ .

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