Exercice 1 — Étude d'une fonction logarithmique On considère la fonction f définie sur ] 0 , + ∞ [ par : f ( x ) = x − ln ( x ) − 1 Limites aux bornes du domaine. Calculer x → 0 + lim f ( x ) . Préciser le comportement de la courbe de f au voisinage de 0. Calculer x → + ∞ lim f ( x ) . Interpréter géométriquement. Étude des variations. Calculer f ′ ( x ) pour tout x ∈ ] 0 , + ∞ [ . Étudier le signe de f ′ ( x ) et dresser le tableau de variations complet de f . Signe de f et inégalité. En déduire le signe de f ( x ) pour tout x ∈ ] 0 , + ∞ [ . Conclure que pour tout x > 0 : ln ( x ) ≤ x − 1 .

Étude de f(x)=x-ln(x)-1 — Bac France 2024 (sujet B)

Facile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 1 — Étude d'une fonction logarithmique

On considère la fonction f définie sur $] 0, + \infty [$ par :

$f (x) = x - ln (x) - 1$

Limites aux bornes du domaine.
1. Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ . Préciser le comportement de la courbe de f au voisinage de 0.
2. Calculer $x \to + \infty lim f (x)$ . Interpréter géométriquement.
Étude des variations.
1. Calculer $f^{'} (x)$ pour tout $x \in] 0, + \infty [$ .
2. Étudier le signe de $f^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations complet de f.
Signe de f et inégalité.
1. En déduire le signe de $f (x)$ pour tout $x \in] 0, + \infty [$ .
2. Conclure que pour tout $x > 0$ : $ln (x) \leq x - 1$ .

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