Exercice 1 — Étude d'une fonction logarithmique On considère la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = x − ln ( x ) − 1 Calculer la limite de f en 0 + et en + ∞ . Calculer f ′ ( x ) et étudier son signe. En déduire le tableau de variations de f . Montrer que f ( x ) ≥ 0 pour tout x > 0 . Que peut-on en conclure sur la comparaison de x et ln ( x ) + 1 ? Résoudre l'équation f ( x ) = 0 .

Étude de f(x)=x-ln(x)-1 — Bac France 2024 (sujet A)

Facile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 1 — Étude d'une fonction logarithmique

On considère la fonction f définie sur $] 0; + \infty [$ par :

$f (x) = x - ln (x) - 1$

Calculer la limite de $f$ en $0^{+}$ et en $+ \infty$ .
Calculer $f^{'} (x)$ et étudier son signe. En déduire le tableau de variations de $f$ .
Montrer que $f (x) \geq 0$ pour tout $x > 0$ . Que peut-on en conclure sur la comparaison de $x$ et $ln (x) + 1$ ?
Résoudre l'équation $f (x) = 0$ .

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