Exercice 4 — Suite et logarithme On considère la suite ( u n ) définie par u 0 = 3 et, pour tout entier n ∈ N : u n + 1 = 2 1 ( u n + u n 1 ) On pose v n = ln ( u n ) pour tout n ∈ N . Montrer que u n > 0 pour tout n ∈ N (on pourra raisonner par récurrence). Montrer que u n ≥ 1 pour tout n ≥ 1 en utilisant l'inégalité arithmético-géométrique : pour tous réels a , b > 0 , 2 a + b ≥ ab . Exprimer v n + 1 en fonction de v n et montrer que la suite ( v n ) est décroissante pour n ≥ 1 . Montrer que ( v n ) est minorée par 0 pour n ≥ 1 . En déduire que ( v n ) converge. Quelle est la limite de ( u n ) ?

Suite récurrente et logarithme — convergence — Bac France 2024

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 4 — Suite et logarithme

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 3$ et, pour tout entier $n \in N$ :

$u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{1}{u _{n}})$

On pose $v_{n} = ln (u_{n})$ pour tout $n \in N$ .

Montrer que $u_{n} > 0$ pour tout $n \in N$ (on pourra raisonner par récurrence).
Montrer que $u_{n} \geq 1$ pour tout $n \geq 1$ en utilisant l'inégalité arithmético-géométrique : pour tous réels $a, b > 0$ , $\frac{a + b}{2} \geq ab$ .
Exprimer $v_{n + 1}$ en fonction de $v_{n}$ et montrer que la suite $(v_{n})$ est décroissante pour $n \geq 1$ .
Montrer que $(v_{n})$ est minorée par $0$ pour $n \geq 1$ . En déduire que $(v_{n})$ converge. Quelle est la limite de $(u_{n})$ ?

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