Problème : modélisation logarithmique — Croissance et population

Exercice 6 — Situation-problème : modélisation et optimisation

Une entreprise de Casablanca analyse l'évolution de sa clientèle. Le nombre de clients (en milliers) après $t$ années de fonctionnement est modélisé par la fonction :

$N(t)=a\cdot \ln (t+1)+b$

où $a$ et $b$ sont des réels, définie pour $t\ge 0$.

On sait que $N(0)=5$ ($5$ $000$ clients au démarrage) et $N(e-1)=8$ ($8$ $000$ clients après $e-1$ ans).

1. Déterminer les valeurs de $a$ et de $b$.
2. On définit le coût moyen par client (en dirhams) par : $C(t)=\frac{1000\cdot t}{N(t)}$ pour $t>0$. Calculer $\underset{t\to +\infty }{\lim }C(t)$. Interpréter.
3. On souhaite minimiser $C(t)$. Montrer que $C^{\prime }(t)=\frac{1000\cdot \left(\ln (t+1)-\frac{t}{t+1}\right)}{(N(t){)}^2}$. Étudier le signe de $C^{\prime }(t)$ en posant $\phi (t)=\ln (t+1)-\frac{t}{t+1}$.
4. Montrer que $\phi$ est strictement croissante sur $[0,+\infty [$ et en déduire que $C$ est strictement croissante sur $]0,+\infty [$. Conclure sur l'existence d'un minimum.
5. L'entreprise décide d'investir quand le taux de croissance instantané du nombre de clients, défini par $\frac{N^{\prime }(t)}{N(t)}$, devient inférieur à $0,1$. Déterminer à partir de quelle année $t^{\ast }$ cela se produit (on exprimera $t^{\ast }$ en fonction de $a$).