Exercice 3 — Étude complète d'une fonction On considère la fonction g définie sur ] 0 , + ∞ [ par : g ( x ) = x ⋅ ln ( x ) − x + 1 Calculer les limites de g en 0 + et en + ∞ . Calculer g ′ ( x ) pour tout x ∈ ] 0 , + ∞ [ . Étudier son signe et dresser le tableau de variations de g . Montrer que pour tout x ∈ ] 0 , + ∞ [ , g ( x ) ≥ 0 , avec égalité si et seulement si x = 1 . En déduire que pour tout x > 0 : ln ( x ) ≥ 1 − x 1 . Vérifier l'inégalité pour x = e . À l'aide de la question 3, démontrer que pour tous réels a > 0 et b > 0 : ln ( b a ) ≥ 1 − a b .

Étude complète d'une fonction avec ln et exponentielle

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 3 — Étude complète d'une fonction

On considère la fonction g définie sur $] 0, + \infty [$ par :

$g (x) = x \cdot ln (x) - x + 1$

Calculer les limites de g en $0^{+}$ et en $+ \infty$ .
Calculer $g^{'} (x)$ pour tout $x \in] 0, + \infty [$ . Étudier son signe et dresser le tableau de variations de g.
Montrer que pour tout $x \in] 0, + \infty [$ , $g (x) \geq 0$ , avec égalité si et seulement si $x = 1$ .
En déduire que pour tout $x > 0$ : $ln (x) \geq 1 - \frac{1}{x}$ . Vérifier l'inégalité pour $x = e$ .
À l'aide de la question 3, démontrer que pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $ln (\frac{a}{b}) \geq 1 - \frac{b}{a}$ .

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