Fonction avec ln — asymptote oblique et optimisation

Exercice 5 — Asymptote oblique et optimisation

On considère la fonction $h$ définie sur $]0;+\infty [$ par :

$h(x)=x+\ln (x)-x\cdot \ln (x)$

1. Calculer les limites de $h$ en $0^{+}$ et en $+\infty$. (Pour la limite en $+\infty$, on factorisera par $x$.)
2. Montrer que la droite d'équation $y=-x$ est asymptote à la courbe de $h$ quand $x\to +\infty$.
3. Calculer $h^{\prime }(x)$ et l'écrire sous forme factorisée. En déduire le tableau de variations complet de $h$.
4. Montrer que l'équation $h(x)=0$ admet exactement deux solutions sur $]0;+\infty [$. On notera $\alpha$ la solution différente de $1$ (on ne demande pas de la calculer).
5. Application : Une usine de Casablanca modélise son bénéfice journalier (en milliers de dirhams) par $B(x)=h(x)=x+\ln (x)-x\cdot \ln (x)$, où $x>0$ est la quantité produite (en tonnes). Déterminer la quantité $x^{\ast }$ qui maximise le bénéfice, et calculer ce bénéfice maximum.