Suite harmonique et logarithme Montrer que pour tout x ∈ [ 1 ; + ∞ [ : x + 1 1 < ln ( x + 1 ) − ln ( x ) < x 1 . On pose, pour n ∈ N ∗ , U n = 1 + 2 1 + 3 1 + ⋯ + n 1 . Montrer que ln ( 1 + n ) < U n , puis en déduire n → + ∞ lim U n .

Encadrement et divergence de la série harmonique

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Suite harmonique et logarithme

Montrer que pour tout $x \in [1; + \infty [$ :
$\frac{1}{x + 1} < ln (x + 1) - ln (x) < \frac{1}{x} .$
On pose, pour $n \in N^{*}$ , $U_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$ . Montrer que $ln (1 + n) < U_{n}$ , puis en déduire $n \to + \infty lim U_{n}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, pense au theoreme des accroissements finis applique a la fonction $\\ln$ sur l'intervalle $[x\\,;x+1]$.

2 Indice 2

Le theoreme te donne un reel $c$ strictement compris entre $x$ et $x+1$ tel que $\\ln(x+1)-\\ln(x)=\\frac{1}{c}$ ; encadre ensuite $\\frac{1}{c}$ en utilisant l'encadrement de $c$.

3 Indice 3

Pour la question 2, applique l'inegalite de droite obtenue en 1) a chaque entier $k$ entre $1$ et $n$, puis somme ces inegalites en remarquant que la somme des logarithmes est telescopique.

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