Inégalité et application au calcul de limite Montrer que pour tout x ∈ [ 0 ; + ∞ [ : − 2 x 2 ≤ ln ( 1 + x ) − x ≤ − 2 x 2 + 3 x 3 . En déduire x → 0 + lim x 2 ln ( 1 + x ) − x .

Encadrement de ln(1+x) et limite déduite

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Inégalité et application au calcul de limite

Montrer que pour tout $x \in [0; + \infty [$ :
$- \frac{x ^{2}}{2} \leq ln (1 + x) - x \leq - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} .$
En déduire $x \to 0^{+} lim \frac{ln ( 1 + x ) - x}{x ^{2}}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, introduis une fonction auxiliaire egale a la difference entre les deux membres de chaque inegalite a demontrer, puis etudie son signe grace a sa derivee.

2 Indice 2

Calcule la derivee de cette fonction auxiliaire et essaie de la mettre sous une forme dont le signe est evident sur l'intervalle considere, puis conclus sur la monotonie et la valeur en 0.

3 Indice 3

Pour la question 2, divise tout l'encadrement obtenu par $x^2$ (en verifiant que $x^2 > 0$), puis utilise le theoreme des gendarmes en faisant tendre $x$ vers $0^+$.

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