Encadrement de V n et limite On reprend l'encadrement x + 1 1 < ln ( x + 1 ) − ln ( x ) < x 1 valable pour x ≥ 1 . On considère la suite définie pour n ∈ N ∗ par : V n = n + 1 1 + n + 2 1 + ⋯ + 2 n 1 . Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : ln ( n + 1 2 n + 1 ) < V n < ln ( 2 ) . En déduire la limite de la suite ( V n ) .

Limite d'une moyenne de termes harmoniques

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Encadrement de $V_{n}$ et limite

On reprend l'encadrement $\frac{1}{x + 1} < ln (x + 1) - ln (x) < \frac{1}{x}$ valable pour $x \geq 1$ . On considère la suite définie pour $n \in N^{*}$ par :

$V_{n} = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{2 n} .$

Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ : $ln (\frac{2 n + 1}{n + 1}) < V_{n} < ln (2)$ .
En déduire la limite de la suite $(V_{n})$ .

Indices

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1 Indice 1

Remarque d'abord que $V_n$ est une somme de termes de la forme $\\dfrac{1}{k}$ pour k allant de $n+1$ a $2n$ : essaie d'appliquer l'encadrement donne a chaque valeur de k de cette somme.

2 Indice 2

Pour la minoration, utilise l'inegalite de droite de l'encadrement pour chaque k, puis somme ces inegalites : observe que la somme des termes en logarithme se simplifie par telescopage. Pour la majoration, utilise l'inegalite de gauche appliquee a $x = k-1$.

3 Indice 3

Une fois l'encadrement de la question 1 obtenu, etudie la limite quand n tend vers l'infini de chacune des deux bornes de l'encadrement, puis utilise un theoreme qui permet de conclure sur la limite de la suite encadree.

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