TVI et théorème de la bijection : unicité et encadrement d'une solution

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=x^3+2x-2.$$

1. Déterminer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$.

4. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.