Étude complète d'une fonction rationnelle : asymptotes verticale et oblique

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ par :

$$f(x)=\frac{2x^2-3x+4}{x-1}.$$

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

1. Démontrer que pour tout $x\ne 1$, $f(x)=2x-1+\frac{3}{x-1}$.

2. Déterminer $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)$. Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}$ ?

3. Démontrer que la droite $D:y=2x-1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}$ en $-\infty$ et en $+\infty$.

4. Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et de la droite $D$.