Exercice 5 — Forme indéterminée 1 ∞ et étude de fonction On considère la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = x 1/ l n ( x ) (c'est-à-dire x à la puissance ln ( x ) 1 ) Montrer que pour tout x > 0 , x  = 1 , on a : f ( x ) = e l n ( x ) / l n ( x ) = e . Conclure sur la nature de f . Que vaut f ( 1 ) ? (On rappelle que 1 1/ l n ( 1 ) n'est pas défini car ln ( 1 ) = 0 .) On pose maintenant g ( x ) = ( 1 + x 1 ) x pour x > 0 . a. Montrer que x → + ∞ lim g ( x ) = e en utilisant la limite de référence x → + ∞ lim ( 1 + x 1 ) x = e . b. Calculer x → 0 + lim g ( x ) en étudiant x → 0 + lim x ln ( 1 + x 1 ) . Préciser la forme indéterminée. (On pourra écrire 1 + x 1 = x x + 1 .) c. En déduire que l'équation g ( x ) = 2 admet au moins une solution dans ] 0 ; + ∞ [ . Vérifier les hypothèses du théorème utilisé. Montrer que g est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [ en étudiant le signe de ln ( g ( x )) = x ln ( 1 + x 1 ) (on admettra que la dérivée de x ln ( 1 + x 1 ) est ln ( 1 + x 1 ) − x + 1 1 , et on admettra que cette expression est positive pour x > 0 ). En déduire l'unicité de la solution de g ( x ) = 2 .

Limite de forme 1^∞ et étude complète

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 5 — Forme indéterminée $1^{\infty}$ et étude de fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par :

$f (x) = x^{1/ l n (x)}$ (c'est-à-dire $x$ à la puissance $\frac{1}{ln ( x )}$ )

Montrer que pour tout $x > 0$ , $x \neq = 1$ , on a : $f (x) = e^{l n (x) / l n (x)} = e$ . Conclure sur la nature de $f$ .
Que vaut $f (1)$ ? (On rappelle que $1^{1/ l n (1)}$ n'est pas défini car $ln (1) = 0$ .)
On pose maintenant $g (x) = (1 + \frac{1}{x})^{x}$ pour $x > 0$ .
a. Montrer que $x \to + \infty lim g (x) = e$ en utilisant la limite de référence $x \to + \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$ .
b. Calculer $x \to 0^{+} lim g (x)$ en étudiant $x \to 0^{+} lim x ln (1 + \frac{1}{x})$ . Préciser la forme indéterminée. (On pourra écrire $1 + \frac{1}{x} = \frac{x + 1}{x}$ .)
c. En déduire que l'équation $g (x) = 2$ admet au moins une solution dans $] 0; + \infty [$ . Vérifier les hypothèses du théorème utilisé.
Montrer que $g$ est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ en étudiant le signe de $ln (g (x)) = x ln (1 + \frac{1}{x})$ (on admettra que la dérivée de $x ln (1 + \frac{1}{x})$ est $ln (1 + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x + 1}$ , et on admettra que cette expression est positive pour $x > 0$ ). En déduire l'unicité de la solution de $g (x) = 2$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Ecris toute puissance sous forme exponentielle : $x^{a}=e^{a\\ln(x)}$.

2 Indice 2

Pour $f$, l'exposant $\\frac{1}{\\ln(x)}$ multiplie $\\ln(x)$ : simplifie l'exposant obtenu.

3 Indice 3

Pour $g$, etudie $\\ln(g(x))=x\\ln\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)$ puis applique le TVI et la stricte monotonie pour l'existence et l'unicite.

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