On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = x 3 − 3 x + ln ( x + 2 ) Vérifier que f est continue sur R . (On précisera le domaine de ln ( x + 2 ) .) Calculer f ( − 1 ) et f ( 1 ) . En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires , montrer qu'il existe au moins un réel α ∈ ] − 1 ; 1 [ tel que f ( α ) = 0 . Vérifier soigneusement les hypothèses du théorème. On admet que f est strictement monotone sur ] − 1 ; 1 [ . En déduire que α est unique dans cet intervalle. Donner un encadrement de α à 1 0 − 1 près.

Application du TVI : existence d'une solution

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On considère la fonction f définie sur $R$ par :

$f (x) = x^{3} - 3 x + ln (x + 2)$

Vérifier que $f$ est continue sur $R$ . (On précisera le domaine de $ln (x + 2)$ .)
Calculer $f (- 1)$ et $f (1)$ .
En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, montrer qu'il existe au moins un réel $α \in] - 1; 1 [$ tel que $f (α) = 0$ . Vérifier soigneusement les hypothèses du théorème.
On admet que $f$ est strictement monotone sur $] - 1; 1 [$ . En déduire que $α$ est unique dans cet intervalle.
Donner un encadrement de $α$ à $1 0^{- 1}$ près.

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