Exercice 2 – Étude d'une fonction et application du TVI On considère la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = x − 2 + ln ( x ) Partie A – Étude des limites Calculer x → 0 + lim f ( x ) . Interpréter graphiquement ce résultat. Calculer x → + ∞ lim f ( x ) . On justifiera que les croissances comparées ne sont pas nécessaires ici. Partie B – Continuité et application du TVI Justifier que f est continue sur ] 0 ; + ∞ [ . Montrer que f est strictement croissante sur ] 0 ; + ∞ [ . (On admettra que f est dérivable et que f ′ ( x ) = 1 + x 1 .) Montrer que l'équation f ( x ) = 0 admet une unique solution α sur ] 0 ; + ∞ [ . Montrer que α ∈ ] 0 , 1 ; 0 , 2 [ . (On rappelle que ln ( 0 , 1 ) ≈ − 2 , 303 et ln ( 0 , 2 ) ≈ − 1 , 609 .)

Limites, formes indéterminées et théorème des valeurs intermédiaires

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 2 – Étude d'une fonction et application du TVI

On considère la fonction $f$ définie sur $] 0; + \infty [$ par :

$f (x) = x - 2 + ln (x)$

Partie A – Étude des limites

Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ . Interpréter graphiquement ce résultat.
Calculer $x \to + \infty lim f (x)$ . On justifiera que les croissances comparées ne sont pas nécessaires ici.

Partie B – Continuité et application du TVI

Justifier que $f$ est continue sur $] 0; + \infty [$ .
Montrer que $f$ est strictement croissante sur $] 0; + \infty [$ . (On admettra que $f$ est dérivable et que $f^{'} (x) = 1 + \frac{1}{x}$ .)
Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α$ sur $] 0; + \infty [$ .
Montrer que $α \in] 0, 1; 0, 2 [$ . (On rappelle que $ln (0, 1) \approx - 2, 303$ et $ln (0, 2) \approx - 1, 609$ .)

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