Intégration par parties avec logarithme et aire sous une courbe

Partie A. À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale $$J=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\ln xdx.$$

Partie B. On considère la fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f(x)=\ln x$.

1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\underset{1}{\overset{2}{\int }}(2x+1)\ln xdx$.

2. Sur l'intervalle $[1;e]$, la fonction f est positive. En déduire, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=1$ et $x=e$.