Intégration par parties et aire sous une courbe

Partie A. Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale $$J=\underset{1}{\overset{e}{\int }}x\ln xdx.$$

Partie B. On considère la fonction g définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=x{e}^{-x}$.

1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{e}^{-x}dx$.

2. La fonction g est positive sur $[0;1]$. En déduire, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine compris entre la courbe de g, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.