Soit a ∈ R + . On considère les suites ( U n ) et ( V n ) définies par : U n = k = 0 ∑ n k ! a k et V n = n ! 1 0 ∫ a ( a − x ) n e x d x Montrer que pour tout n ∈ N ∗ : V n = − n ! a n + V n − 1 . Montrer que pour tout n ∈ N : e a = U n + V n . Montrer que pour tout n ∈ N : 0 ≤ V n ≤ ( n + 1 )! e a a n + 1 . En déduire n → + ∞ lim n ! a n et la limite de ( U n ) .

Reste intégral de l'exponentielle et $\lim \frac{a^n}{n!}$

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Soit $a \in R^{+}$ . On considère les suites $(U_{n})$ et $(V_{n})$ définies par :

$U_{n} = k = 0 \sum n \frac{a ^{k}}{k !} et V_{n} = \frac{1}{n !} 0 \int a (a - x)^{n} e^{x} d x$

Montrer que pour tout $n \in N^{*}$ : $V_{n} = - \frac{a ^{n}}{n !} + V_{n - 1}$ .
Montrer que pour tout $n \in N$ : $e^{a} = U_{n} + V_{n}$ .
Montrer que pour tout $n \in N$ : $0 \leq V_{n} \leq \frac{e ^{a} a ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$ .
En déduire $n \to + \infty lim \frac{a ^{n}}{n !}$ et la limite de $(U_{n})$ .

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la relation de recurrence, integre $V_n$ par parties avec $u=(a-x)^n$ et $w'=e^x$.

2 Indice 2

Pour l'egalite $e^a = U_n + V_n$, raisonne par recurrence en utilisant la relation du 1).

3 Indice 3

Pour l'encadrement, majore $e^x$ par $e^a$ sur $[0;a]$ puis applique le theoreme des gendarmes.

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