Énoncé On considère la fonction F définie pour x > 0 par F ( x ) = x 2 ∫ 4 x 2 t e − t d t et F ( 0 ) = 2 ln 2 . Montrer que pour tout t > 0 : − t ≤ e − t − 1 ≤ 0 , et vérifier que pour tout x > 0 : x 2 ∫ 4 x 2 t 1 d t = 2 ln 2 . En déduire que pour tout x > 0 : − 3 x 2 ≤ F ( x ) − 2 ln 2 ≤ 0 , puis que F est dérivable à droite en 0 et préciser F d ′ ( 0 ) .

Encadrement et dérivabilité à droite d'une fonction intégrale

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On considère la fonction $F$ définie pour $x > 0$ par $F (x) = x^{2} \int 4 x^{2} \frac{e ^{- t}}{t} d t$ et $F (0) = 2 ln 2$ .

Montrer que pour tout $t > 0$ : $- t \leq e^{- t} - 1 \leq 0$ , et vérifier que pour tout $x > 0$ : $x^{2} \int 4 x^{2} \frac{1}{t} d t = 2 ln 2$ .
En déduire que pour tout $x > 0$ : $- 3 x^{2} \leq F (x) - 2 ln 2 \leq 0$ , puis que $F$ est dérivable à droite en $0$ et préciser $F_{d}^{'} (0)$ .

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1 Indice 1

Pour l'inegalite, etudie la fonction $\\varphi(t)=e^{-t}-1+t$ et le signe de sa derivee.

2 Indice 2

Ecris $F(x)-2\\ln 2$ comme une seule integrale de $\\dfrac{e^{-t}-1}{t}$ en soustrayant l'integrale de reference.

3 Indice 3

Encadre $\\dfrac{e^{-t}-1}{t}$ entre $-1$ et $0$, integre, puis divise par $x$ et applique le theoreme des gendarmes.

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Léo peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

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