Pour tout x ∈ R + on pose h ( x ) = 0 ∫ x 1 + t t 2 d t . Montrer que pour tout x ≥ 0 , 0 ≤ h ( x ) ≤ 3 x 3 . Montrer que pour tout x ≥ 0 , h ( x ) = − x + 2 x 2 + ln ( 1 + x ) . En déduire que x → 0 + lim x 2 ln ( 1 + x ) − x = − 2 1 .

Étude de $h(x)=\int_0^x \frac{t^2}{1+t}\,dt$ et limite associée

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Pour tout $x \in R^{+}$ on pose $h (x) = 0 \int x \frac{t ^{2}}{1 + t} d t$ .

Montrer que pour tout $x \geq 0$ , $0 \leq h (x) \leq \frac{x ^{3}}{3}$ .
Montrer que pour tout $x \geq 0$ , $h (x) = - x + \frac{x ^{2}}{2} + ln (1 + x)$ .
En déduire que $x \to 0^{+} lim \frac{ln ( 1 + x ) - x}{x ^{2}} = - \frac{1}{2}$ .

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