Énoncé On considère la fonction F définie pour x > 0 par : F ( x ) = x ∫ 2 x ln ( 1 + t 2 ) 1 d t Montrer que pour tout x > 0 , il existe c ∈ ] x , 2 x [ tel que F ( x ) = ln ( 1 + c 2 ) x . En déduire que pour tout x > 0 : ln ( 1 + 4 x 2 ) x ≤ F ( x ) ≤ ln ( 1 + x 2 ) x .

Encadrement d'une fonction intégrale par la méthode de la moyenne

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On considère la fonction $F$ définie pour $x > 0$ par :

$F (x) = x \int 2 x \frac{1}{ln ( 1 + t ^{2} )} d t$

Montrer que pour tout $x > 0$ , il existe $c \in] x, 2 x [$ tel que $F (x) = \frac{x}{ln ( 1 + c ^{2} )}$ .
En déduire que pour tout $x > 0$ : $\frac{x}{ln ( 1 + 4 x ^{2} )} \leq F (x) \leq \frac{x}{ln ( 1 + x ^{2} )}$ .

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1 Indice 1

Applique le theoreme de la moyenne pour les integrales a la fonction continue sous le signe integral.

2 Indice 2

Sur $[x,2x]$ de longueur $x$, tu obtiens $F(x)=x\\cdot g(c)$ avec $c\\in\\,]x,2x[$.

3 Indice 3

Encadre $c$ par $x$ et $2x$, applique la croissance de $\\ln$ puis passe aux inverses.

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