Étude d'une intégrale à bornes variables avec changement de variable

Soit $F$ définie sur $I=]0;+\infty [$ par $F(x)=\underset{\ln 2}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sqrt{e^t-1}}dt$.

1. Étudier le signe de $F(x)$ selon $x$, montrer que $F$ est dérivable sur $I$ et calculer $F^{\prime }(x)$ ; en déduire que $F$ est strictement croissante.

2. À l'aide du changement de variable $u=\sqrt{e^t-1}$, montrer que pour tout $x\in I$ : $F(x)=2\arctan \left(\sqrt{e^x-1}\right)-\frac{\pi }{2}$. En déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }F(x)$.

3. Montrer que $F$ réalise une bijection de $I$ vers un intervalle $J$ à préciser, puis déterminer sa bijection réciproque.