Encadrement d'une intégrale à bornes variables et tableau de variations

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty [$ par $f(t)=\sqrt[3]{t}{e}^{-t}$. Pour tout $x\in [0;+\infty [$, on pose :

$F(x)=\underset{x}{\overset{8x}{\int }}f(t)dt.$

1. Montrer que $F$ est dérivable sur $[0;+\infty [$ et que pour tout $x\ge 0$ : $F^{\prime }(x)=(16e^{-7x}-1)f(x)$.

2. Montrer que pour tout $x\ge 0$ : $0\le F(x)\le 2(1-e^{-7x})f(x)$.

3. En déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)$, puis dresser le tableau de variations de $F$.