Inégalités fonctionnelles et encadrement Montrer que pour tout t ≥ 0 : 1 − t ≤ 1 + t 1 ≤ 1 . En déduire que pour tout x ≥ 0 : x − 2 x 2 ≤ ln ( 1 + x ) ≤ x . Déterminer un encadrement de I = 0 ∫ 1 ln ( 1 + x ) d x .

Encadrement d'une intégrale par des inégalités

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Énoncé

Inégalités fonctionnelles et encadrement

Montrer que pour tout $t \geq 0$ : $1 - t \leq \frac{1}{1 + t} \leq 1$ .
En déduire que pour tout $x \geq 0$ : $x - \frac{x ^{2}}{2} \leq ln (1 + x) \leq x$ .
Déterminer un encadrement de $I = 0 \int 1 ln (1 + x) d x$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la question 1, etudie separement les deux inegalites : compare $\\dfrac{1}{1+t}$ a $1$, puis multiplie $(1-t)$ par $(1+t)$ pour comparer ce produit a $1$.

2 Indice 2

Pour la question 2, integre chaque membre de l'encadrement obtenu en question 1 entre $0$ et $x$, en te souvenant que l'integration conserve l'ordre des inegalites.

3 Indice 3

Pour la question 3, applique le meme principe d'integration a l'encadrement de la question 2, cette fois entre $0$ et $1$, puis calcule chacune des deux integrales obtenues.

Bloqué sur cet exercice ?

Léo peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Léo

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Intégrale et parité : facteur 1/(e^t+1) Retour au chapitre Encadrement d'une intégrale à bornes variables et tableau de variations

Encadrement d'une intégrale par des inégalités

Énoncé

Inégalités fonctionnelles et encadrement

Indices

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Encadrement d'une intégrale par des inégalités

Énoncé

Inégalités fonctionnelles et encadrement

Indices

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

Tu as vu 5 exercices aujourd'hui 🎯