Exploiter une symétrie sur [−1,1] On pose : P = − 1 ∫ 1 t arctan t d t J = − 1 ∫ 1 e t + 1 t arctan t d t . Calculer P et montrer que J = − 1 ∫ 1 e t + 1 e t t arctan t d t (poser t = − x ). En déduire la valeur de J .

Intégrale et parité : facteur 1/(e^t+1)

Difficile Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

On pose :

$P = - 1 \int 1 t arctan t d t J = - 1 \int 1 \frac{t arctan t}{e ^{t} + 1} d t .$

Calculer $P$ et montrer que $J = - 1 \int 1 \frac{e ^{t}}{e ^{t} + 1} t arctan t d t$ (poser $t = - x$ ).
En déduire la valeur de $J$ .

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1 Indice 1

Pour $P$, integre $t\\arctan t$ par parties et exploite la parite de la fonction.

2 Indice 2

Dans $J$, pose le changement $t = -x$ et observe que $t\\arctan t$ est paire.

3 Indice 3

Additionne les deux ecritures de $J$ : les denominateurs se recombinent en $1$, faisant apparaitre $P$.

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