Pavé droit, produit scalaire et angles dans l'espace

Exercice 5 — Pavé droit et géométrie vectorielle

On considère un pavé droit ABCDEFGH où ABCD est la face inférieure et EFGH la face supérieure, avec AE, BF, CG, € les arêtes verticales. On pose AB = 4, AD = 3 et AE = 6 (unités en cm).

On munit l'espace du repère orthonormal (A ; i, j, k) avec i = AB/4, j = AD/3, k = AE/6.

Les coordonnées des sommets sont : A(0;0;0), B(4;0;0), C(4;3;0), D(0;3;0), E(0;0;6), F(4;0;6), G(4;3;6), H(0;3;6).

1. Calculer les coordonnées des vecteurs AG et BH. Montrer que les diagonales AG et BH ne sont pas orthogonales en calculant AG $\cdot$ BH.
2. On note M le milieu de [BH] et N le milieu de [AE].
   a) Calculer les coordonnées de M et N.
   b) Montrer que les droites (AG) et (MN) sont parallèles ou confondues, ou bien déterminer leur relation.
3. Soit P le point de coordonnées P(2 ; $\frac{3}{2}$ ; 3) (centre du pavé).
   a) Vérifier que P est le milieu de [AG].
   b) Calculer l'angle $\theta$ que fait la diagonale [AG] avec la face inférieure ABCD. On rappelle que $\sin (\theta )=$ hauteur / longueur de la diagonale spatiale.
4. On considère le plan (BDE) passant par B(4;0;0), D(0;3;0), E(0;0;6).
   a) Déterminer un vecteur normal au plan (BDE).
   b) En déduire l'équation cartésienne du plan (BDE).
   c) Calculer la distance du sommet G au plan (BDE).