Sphère, cône et optimisation de volume

Exercice 4 — Cône inscrit dans une sphère

On considère une sphère de rayon R = 9 cm et de centre O. On inscrit dans cette sphère un cône droit de sommet S, de base un cercle de rayon r et de hauteur h (la base du cône est un grand disque de la sphère ou un disque intérieur).

On note C le centre de la base du cône. Le sommet S et le centre C sont diamétralement opposés sur l'axe du cône. On a donc : $OC=h-R$ et le rayon de la base vérifie $r^2=R^2-(h-R{)}^2$.

1. Montrer que $r^2=2Rh-h^2$.
2. Exprimer le volume $V(h)$ du cône en fonction de h uniquement (avec R = 9).
3. Déterminer la valeur de h qui maximise le volume $V(h)$, pour $h\in ]0;2R[$. Calculer le volume maximal en $c{m}^3$ (en fonction de $\pi$).
4. Calculer le rapport entre le volume maximal du cône et le volume de la sphère. Commenter.