Exercice 3 — Repère et géométrie analytique dans l'espace On se place dans un repère orthonormal (O ; i , j , k ) de l'espace. On considère les points : A(1 ; 2 ; 3) B(3 ; 0 ; 1) C(2 ; 4 ; 0) D(0 ; 2 ; −1) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC . Vérifier que le vecteur n = (2 ; 3 ; −4) est orthogonal à la fois à AB et à AC . En déduire qu'il est un vecteur normal au plan (ABC). Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). Le point D appartient-il au plan (ABC) ? Justifier. Calculer la distance du point D au plan (ABC). On rappelle que la distance d'un point P( x 0 ; y 0 ; z 0 ) au plan d'équation a x + b y + cz + d = 0 est : dist = a 2 + b 2 + c 2 ∣ a x 0 + b y 0 + c z 0 + d ∣ .

Repérage dans l'espace, équation de plan et distance

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 3 — Repère et géométrie analytique dans l'espace

On se place dans un repère orthonormal (O ; i, j, k) de l'espace. On considère les points :

Calculer les coordonnées des vecteurs AB et AC.
Vérifier que le vecteur n = (2 ; 3 ; −4) est orthogonal à la fois à AB et à AC. En déduire qu'il est un vecteur normal au plan (ABC).
Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
Le point D appartient-il au plan (ABC) ? Justifier.
Calculer la distance du point D au plan (ABC). On rappelle que la distance d'un point P( $x_{0}$ ; $y_{0}$ ; $z_{0}$ ) au plan d'équation $a x + b y + cz + d = 0$ est : dist = $\frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .

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