Cône et sphère inscrite — Optimisation de volume

Exercice 4 — Cône et sphère inscrite

On considère un cône de révolution de sommet S, de hauteur $h$ et de rayon de base $r$. On suppose que $r+h=12$ (contrainte fixe).

1. Exprimer le volume $V$ du cône en fonction de $r$ uniquement (en substituant $h=12-r$).

2. Déterminer les valeurs de $r$ pour lesquelles $V$ est défini (domaine de validité).

3. Calculer $V^{\prime }(r)$ et déterminer la valeur de $r$ qui maximise $V$.

4. En déduire la valeur maximale du volume du cône, et les dimensions correspondantes.

5. Une sphère de rayon $\rho$ est inscrite dans ce cône optimal (elle est tangente à la base et à la surface latérale). Sachant que pour un cône de rayon $r$ et de hauteur $h$, le rayon de la sphère inscrite est $\rho =\frac{r\cdot h}{r+l}$ où $l=\sqrt{r^2+h^2}$ est l'apothème, calculer $\rho$ pour les dimensions optimales trouvées.