Étude d'une fonction $(2x-3)e^{x}$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x-3)e^x$.

1. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et montrer que pour tout réel $x$ : $f^{\prime }(x)=(2x-1)e^x$.

2. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ sur $\mathbb{R}$.

3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ (les limites ne sont pas demandées) et préciser la valeur du minimum de $f$.