Suite définie à partir de l'exponentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x-x-1$.

Partie A.

1. Calculer $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$. En déduire que pour tout réel $x$, $e^x⩾x+1$.

2. On pose, pour tout réel $x$, $\phi (x)=e^x-2x-1$. Étudier le signe de $\phi (x)$ sur l'intervalle $[0;1]$.

Partie B. On définit la suite $(u_n)$ par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=e^{u_n}-u_n-1$.

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0⩽u_n⩽1$.

4. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante. En déduire qu'elle converge.

5. On admet que sa limite $\ell$ vérifie $\ell =e^{\ell }-\ell -1$. Déterminer la valeur de $\ell$.