Étude de fonction, croissances comparées, TVI et tangente

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x+2x$.

1. Déterminer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

2. Calculer $f^{\prime }(x)$, étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$.

3. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$, puis justifier que $-1<\alpha <0$.

4. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.

5. On pose $g(x)=\frac{e^x}{x}$ pour $x>0$. À l'aide des croissances comparées, déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$.