Étude complète d'une fonction avec croissances comparées

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x-2)e^x-1$.

1. Déterminer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. On pourra utiliser $\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0$.

2. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

3. Calculer $f^{\prime }(x)$, étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$.

4. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$, et donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,1$.

5. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.