Exercice 3 — Étude complète de fonction On considère la fonction f définie sur R par : f ( x ) = ( x 2 + x − 1 ) e x . Calculer x → + ∞ lim f ( x ) et x → − ∞ lim f ( x ) . Interpréter graphiquement la limite en − ∞ . Montrer que f ′ ( x ) = ( x 2 + 3 x ) e x , puis factoriser f ′ ( x ) . Dresser le tableau de variations complet de f . Montrer que l'équation f ( x ) = 0 admet exactement trois solutions réelles. On précisera un encadrement de la solution positive. Calculer f ′′ ( x ) et déterminer les points d'inflexion de la courbe représentative de f .

Étude complète d'une fonction avec eˣ et asymptote oblique

Intermédiaire Inspiré BAC France

Exercice inspiré d'un BAC France

Énoncé et solution adaptés au programme français. Voir crédits.

Exercice 3 — Étude complète de fonction

On considère la fonction f définie sur $R$ par : $f (x) = (x^{2} + x - 1) e^{x}$ .

Calculer $x \to + \infty lim f (x)$ et $x \to - \infty lim f (x)$ . Interpréter graphiquement la limite en $- \infty$ .
Montrer que $f^{'} (x) = (x^{2} + 3 x) e^{x}$ , puis factoriser $f^{'} (x)$ .
Dresser le tableau de variations complet de f.
Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet exactement trois solutions réelles. On précisera un encadrement de la solution positive.
Calculer $f^{''} (x)$ et déterminer les points d'inflexion de la courbe représentative de f.

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