Étude complète d'une fonction exponentielle

Exercice — Étude de fonction (style BAC Sénégal Série S)

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=(x^2-x+1)\cdot e^x$

Partie A : Limites et comportement asymptotique

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. Interpréter graphiquement le résultat en $-\infty$.

Partie B : Étude de la dérivée

2. Montrer que, pour tout $x\in \mathbb{R}$ : $f^{\prime }(x)=x^2\cdot e^x$.
3. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations complet de f.

Partie C : Convexité

4. Calculer $f^{\prime \prime }(x)$ et montrer que $f^{\prime \prime }(x)=(x^2+2x)\cdot e^x$.
5. Déterminer les points d'inflexion de la courbe représentative de f.

Partie D : Équation

6. Montrer que l'équation $f(x)=e^x$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$, et les déterminer.