Situation-problème : croissance d'une population à Casablanca

Exercice 5 — Situation-problème : modèle de croissance

Une étude démographique modélise la population (en millions d'habitants) d'une métropole française par la fonction :

$P(t)=a\cdot e^{bt}$

où t est le temps en années à partir d'une année de référence $t=0$, et $a,b$ sont des constantes réelles avec $a>0$.

On sait que :

• En $t=0$, la population est de 2 millions d'habitants.
• En $t=10$, la population est de 4 millions d'habitants.

1. Déterminer les constantes $a$ et $b$. On exprimera $b$ en fonction de $\ln 2$.
2. Calculer $P^{\prime }(t)$ et interpréter son signe dans le contexte de l'étude.
3. Déterminer l'année $t^{\ast }$ à partir de laquelle la population dépassera 10 millions d'habitants. On donnera une valeur approchée à une décimale.
4. On définit le taux de croissance moyen sur l'intervalle $[0;T]$ par : $\tau (T)=\frac{P(T)-P(0)}{T\cdot P(0)}$. Montrer que $\tau (T)=\frac{e^{bT}-1}{T}$, puis calculer $\underset{T\to 0^{+}}{\lim }\tau (T)$ et interpréter.
5. Un urbaniste affirme que « la population double en un temps constant, quelle que soit la date de départ ». Démontrer rigoureusement cette affirmation et calculer ce temps de doublement.