Étude d'une fonction exponentielle simple — Bac Sénégal 2023

Exercice 1 — Étude d'une fonction exponentielle

On considère la fonction f définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=(x-1)e^x+1$.

1. Calculer les limites de f en $-\infty$ et en $+\infty$.
2. Calculer $f^{\prime }(x)$, la dérivée de f, puis étudier son signe.
3. Dresser le tableau de variations de f.
4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}$, et préciser un encadrement de $\alpha$ à l'unité près (on pourra utiliser $f(0)$ et $f(1)$).